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自主变式创编新题,提升学生数学思维力

发布时间:2018-02-07 15:09 本文地址:http://www.qikan58.com/Info-detail-28537.html 来源:吴森雄 点击数:192

“课标”指出“有效的数学学习活动不能单纯地模仿和记忆”“学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程”。这个过程是数学思维不断拓宽,不断加深,且多维交织,高速运行的过程。无论是新课讲学,还是练习复习,教师都应以格外重视思维的训练,以思维能力为导向,避免知识的机械填鸭。中考复习时间紧,任务重,题目千变万化,题海战术要不得,那么,如何有效地提升学生的思维力呢?自主变式,创编新题,是一种有效的复习讲评策略。下文将结合《几何变换——旋转》这节课的具体过程而谈,与读者分享。

一、出示典例,建构思维起点

典型例题蕴藏着典型的数学思想与方法。掌握典型例题的特点与解题方法,有助于学生数学知识的构建。教学中要善于挖掘这类例习题,巧妙改编,即通过一个典型的例题,最大可能的覆盖知识点,把分散的知识点串成一条线,往往会起到意想不到的效果,有利于知识的建构。

教学片断:

如图,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,说明理由。

生1:因为BE、DF不在同一条直线上,根据“截长补短”原理,通过旋转则可以实现BE、DF在同一直线上。

师:很好,“截长补短”是解决“线段和差”问题的主要方法。

这道题难度不大,接近学生的最近发展区,大部分同学能够自主完成。

解:∵正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠ADC=∠B=90°,∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′,点F、D、E′在一条直线上。

∴∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF.

又∵AE′=AE,AF=AF,∴△AE′F≌△AEF(SAS),∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF.

教师引导学生逐句分析题设中所给出的各个条件,明确其在解题过程中所起到的作用,形成方法技能;接着引导学生得到本题的4个关键性条件:①ABCD是四边形,点E、F分别在边BC、CD上;②AB=AD;③∠B=∠D=90°;④∠EAF=■∠BAD。结论是求EF=BE+DF(为接下来的例题改编做准备)。

师:有一种不需“刷题”也能提高复习效率和成绩的方法,那就是创编题目进行变式,今天我们一起来体验改编试题变式的魔力。

师:所谓变式,就是改变原题条件和结论,或把条件和结论互换位置,或转换问题的内容和形式,从而变成一道新题。如刚才的题目有4个条件:①ABCD是四边形,点E、F分别在边BC、CD上;②AB=AD;③∠B=∠D=90°;④∠EAF=■∠BAD;结论是求EF=BE+DF。请同学们根据变式方法对题目进行改编。

二、逆转变式,翻转思维纬度

逆转变式是题目结构的变式,是指变换题目的条件或结论,而题目的实质不变,以便从不同角度,不同方面揭示题目本质的一种思维策略。

教学片断:

生3:根据图形,我把题目的题设条件∠EAF=■∠BAD和結论EF=BE+DF互换位置,改成:

如图,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,连接EF,EF=BE+DF,则∠EAF=45°,说明理由。

师:生3认真观察图形特征,把图形语言转化为符号语言,为大家做出了很好的示范,题目关键性条件和结论互换位置,改编成一道新题,其实是一道曾经的中考旧题。大家试试看,能不能给出答案。

学生惊讶地看着生3,议论纷纷,原来中考题目离他们那么近。他们对这道题兴趣盎然,都想成为下一道中考题目的命题人。

在例题的引领下,学生很快给出解题过程(解题过程略)。

三、拓展变式,拓宽思维深度

牛顿说过:“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”中学生的想象力丰富,因此,可以通过例题所提供的结构特点,鼓励、引导学生大胆地进行拓展变式创编新题,拓宽思维深度,培养学生的创造性思维和发散性思维。

教学片断:

生4:我想把题目条件拓展一下,其中条件③∠B=∠D=90°等于90°去掉,即③∠B=∠D,题目变式为在四边形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,当AB=AD,∠B=∠D, ∠EAF=■∠BAD时,还有EF=BE+DF吗?不过这只是我的猜想。

师:有创意,很多命题都经历先猜想后证明的过程,我们一起来帮助他证明这个命题能否成立吧。

小组讨论过程中,同学们遇到一个棘手问题,由于题目条件的改变导致图形的变化,那怎么画图呢?没图形便谈不上分析和解答了。

师:研究一个问题,常从特例入手,同学们可把图中的正方形改成菱形。

生5:如图,在菱形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,当∠BAD=120°,∠EAF=60°时,还有EF=BE+DF吗?(学生把符号语言转化为图形语言,利用几何画板很快画好图。)

师:符号语言转化为图形语言是题目改编的关键,同学们一起思考这道题。

在例题的引领下,学生很快给出解题过程。但有同学怀疑自己的解题过程和结论,因与预设结果不一致。

生6:把△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADE′,如图(2),连结E′F,根据菱形和旋转的性质得到AE=AE′,∠EAF=∠E′AF,利用“SAS”证明△AEF≌△AE′F,得到EF=E′F;由于∠ADE′+∠ADC=120°,则点F、D、E′不共线,所以DE′+DF>EF,即BE+DF>EF。

师:思路清晰,有根有据。

生7:这道题不完美,能否把题设条件改编一下,使结果EF=BE+DF成立呢?

小组讨论2分钟后——

生8:我观察到“由于∠ADE′+∠ADC=120°,则点F、D、E′不共线,所以根据三角形两边之和大于第三边即可得DE′+DF>EF”,如果旋转后F、D、E′ 共线,应该就有EF=BE+DF。endprint

师:观察细致入微,根据思路先把题目改编一下。

生9:在四边形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,当AB=AD,∠B+∠D=180,∠EAF=■∠BAD时,EF=BE+DF吗?

符号语言转化为图形语言是这道题的关键,学生根据题目条件不断调整草图,最后利用几何画板很快画好图。

在例题的引领下,学生很快给出解题过程。

学生10板书如下:

当AB=AD,∠B+∠D=180°,∠EAF=■∠BAD时,EF=BE+DF成立.

生11:能得到这样的一个命题吗?“在四边形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,当AB=AD,∠B+∠D=180°,∠EAF=■∠BAD时,EF=BE+DF.”

师:命题 成立,大家回去证明。这是中考题目中的“半角模型”。改编题目進行变式让我们了解了中考命题的奥秘。请同学们对这道题充分思考并进行改编,找到更多的变式。老师给同学们一点提示,可连接BD,交AE、AF于点M、N,研究BM、MN、DN三者关系?也可以对正方形的边进行赋值,计算其他边长或图形面积等。

拓展变式,得出新题。让学生对教师提供的材料,利用自己已有的知识去探索、猜想、建构,解决最近发展区的问题,这是培养学生思维创造性的一种有效途径。

课后再三思——

反思一:尊重学生的思维主体。以往的数学课,都是由教师对题目改编进行变式,同学解决教师提出的问题,最后总结归纳这一类题的解决办法。长此以往,学生就缺乏了主观能动性,造成“老师让我做什么就做什么”的懒惰思维。尊重学生的思维主体性,让学生主动对题目经行再创造,再加工,激发学生学习数学兴趣,降低对几何学习的恐惧。“我的课堂我做主”,学生主动投入到数学的学习中,思维的发展,能力的增长,都变成了主动生长的过程。

反思二:促进学生的思维发展。题目的每一次创编变式都需要大量的缜密思考,创编变式不可能一蹴而就,曲折的过程更能暴露学生思维的痛点,及时修正才能通往正确的方向。因此,要不断增强课堂的开放程度,抓住思维的起点、过程和诱因,创造广阔的思维空间,为学生提供观察、思考、交流、表现的机会,养成多思的习惯,让学生在开放的思维活动中获取知识,提升思维能力,提升思维品质。

反思三:激发学生的思维创造性。每一次创编题目都需要学生根据已有知识进行大胆的猜想。没有大胆的猜想,就没有伟大的创造。在数学教学中,引导学生进行积极、大胆地进行猜想和变式,让学生在猜想和变式过程中更好建构知识,并运用变式对知识进行再发现、再创造,能有效地提高学生的创新能力。【本文为广东省教育研究院教育研究课题《基于“快乐和能力导向”的初中学科三年一体化建设的策略研究》(GDJY-2015-A-b069)研究成果之一


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